MODE
construction 2
bao
figure ggb cmd 0|1|5|19|2|15|29|6|40
ENONCE
La droite (d) est perpendiculaire à (AB)
Construire les points E et F, symétriques respectifs de A et B par rapport à I.
Montrer que (EF) et (AB) sont parallèles et que (EF) et (d) sont perpendiculaires.
ALORS
para (EF) (AB)
perp (EF) d

A=(-0.52, 1.48)
B=(2.24, 3.08)
C=(0.48, 3.98)
I=(1.18, 1.16)
a=Line[A, B]
d=Perpendiculaire[C, a]

T1 triangle milieu
RESUME
Dans un triangle, une droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
CONTEXTE
Dans le triangle {M}{N}{P} |  Dans un triangle,
SI
milieu Q M N | le milieu d'un côté
milieu R M P | le milieu d'un autre côté
ALORS
para (QR) (PN) | la droite qui passe par ces milieux est parallèle au troisième côté.
--
T2 triangle milieu
RESUME
Dans un triangle, un segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté.
CONTEXTE
Dans le triangle {M}{N}{P} |  Dans un triangle,
SI
milieu Q M N | le milieu d'un côté
milieu R M P | le milieu d'un autre côté
ALORS
egal pr(2;QR) PN | le segment qui joint ces milieux mesure la moitié du troisième côté
--
T3 triangle milieu
RESUME
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors cette droite passe par le milieu du troisième côté.
CONTEXTE
Dans le triangle {M}{N}{P} | Dans un triangle
SI
milieu Q M N | le milieu d'un côté
appartient Q d | une droite passe par ce milieu
para d (PN) | cette droite est parallèle au deuxième côté
inter R d (PM) | cette droite coupe le troisième côté en un certain point
ALORS
milieu R M P | ce point est le milieu du troisième côté.
--
TR1 triangle_rectangle
RESUME
Un triangle rectangle a deux côtés perpendiculaires.
CONTEXTE
SI
tri_rect M N P
ALORS
perp (MN) (MP)
--
TR2 triangle_rectangle
RESUME
Théorème de Pythagore
SI
tri_rect M N P
ALORS
egal ca(NP) so(ca(MN);ca(MP))
--
TR4 triangle_rectangle
RESUME
Dans un triangle rectangle, l'hypothénuse est deux fois plus longue que la médiane issue de l'angle droit
SI
tri_rect M N P
milieu O N P
ALORS
egal NP pr(2;MO)
--
TR4r triangle_rectangle
RESUME
Réciproque du T4
CONTEXTE
Dans le triangle {M}{N}{P}
SI
milieu O N P
egal NP pr(2;MO)
ALORS
tri_rect M N P
--
TR5 triangle_rectangle cercle
RESUME
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypothénuse est le centre du cercle circonscrit.
SI
tri_rect M N P
milieu O N P
cercle_circ c M N P
ALORS
centre O c
--
TR6 triangle_rectangle cercle
RESUME
Dans un cercle, un triangle dont un des côtés est un diamètre et dont le troisième sommet appartient au cercle, est rectangle.
SI
cercle_diam c P Q
appartient_cercle M c
ALORS
tri_rect M P Q
perp (MP) (MQ)
--
TR6r triangle_rectangle cercle
RESUME
Si un triangle est rectangle, alors le sommet de l'angle droit appartient au cercle de diamètre l'hypoténuse
SI
cercle_diam c P Q
tri_rect M P Q
ALORS
appartient_cercle M c
--
CC1 cercle
RESUME
Deux points d'un cercle sont équidistants du centre
SI
centre O c1
appartient_cercle M c1
appartient_cercle N c1
ALORS
egal OM ON
--
CC1 cercle
RESUME
Définition de la tangente à un cercle
SI
centre O c1
appartient_cercle M c1
appartient M d
perp d OM
ALORS
tangente d c1 M
--
MDN1 médiane
RESUME
Caractérisation de la médiane
CONTEXTE
Dans le triangle {M}{N}{P}
SI
milieu O N P
ALORS
mediane (MO) M N P
--
MDN2 médiane
RESUME
Le centre de gravité est situé au 2/3 d'une médiane
CONTEXTE
Dans le triangle {M}{N}{P}
SI
milieu O N P
appartient Q (MO)
egal MQ pr(qo(2;3);MO)
ALORS
gravite Q M N P
--
MDN3 médiane
RESUME
Une médiane passe par le centre de gravité
CONTEXTE
Dans le triangle {M}{N}{P}
SI
gravite Q M N P
ALORS
mediane (MQ) M N P
--
MDN4 médiane
RESUME
Les médianes sont concourantes en le centre de gravité.
CONTEXTE
Dans le triangle {M}{N}{P}
SI
mediane (MQ) M N P
mediane (NR) M N P
inter S (MQ) (NR)
ALORS
gravite S M N P
--
MDT1 médiatrice
RESUME
La droite qui est perpendiculaire à un segment en son milieu est la médiatrice
SI
milieu O M N
perp (OP) (MN)
ALORS
mediatrice (OP) M N
--
MDT1r médiatrice
RESUME
la médiatrice est perpendiculaire à au segment en son milieu
SI
mediatrice d1 M N
ALORS
perp d1 (MN)
passemilieu d1 M N
--
MDT2 médiatrice
RESUME
Un point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment
SI
mediatrice d M N
appartient P d
ALORS
egal PM PN
--
MDT2r médiatrice
RESUME
Un point équidistant des extrémités du segment est sur la médiatrice
SI
egal PM PN
ALORS
appartient_mediatrice P M N
--
MDT3 médiatrice
RESUME
la médiatrice est définie par deux points distincts
CONTEXTE
{P} et {Q} sont des points distincts
SI
appartient_mediatrice P M N
appartient_mediatrice Q M N
ALORS
mediatrice (PQ) M N
--
P1 parallélogramme
RESUME
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
SI
parallelogramme M N P Q | un parallélogramme,
inter O (MP) (NQ) | ses diagonales sont sécantes en un point
ALORS
milieu O M P | ce point est le milieu d'une diagonale
milieu O N Q | ce point est le milieu de l'autre diagonale.
--
P1b parallélogramme
RESUME
Dans un parallélogramme, si un point est le milieu d'une diagonale,
alors c'est aussi le milieu de l'autre diagonale.
SI
parallelogramme M N P Q | un parallélogramme,
milieu O M P | un point milieu d'une diagonale
ALORS
milieu O N Q | ce point est le milieu de l'autre diagonale.
--
P1r parallélogramme
RESUME
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallèlogramme.
CONTEXTE
Dans le quadrilatère {M}{N}{P}{Q} | Dans un quadrilatère,
SI
milieu O M P | un point milieu d'une diagonale
milieu O N Q | ce même point milieu d'une autre diagonale
ALORS
parallelogramme M N P Q | c'est un parallélogramme,
--
P2 parallélogramme
RESUME
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles.
SI
parallelogramme M N P Q | un parallélogramme,
ALORS
para (MN) (PQ)| deux côtés opposés sont parallèles
para (NP) (MQ) | les deux autres côtés opposés sont parallèles
--
P2r parallélogramme
RESUME
Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme.
CONTEXTE
Dans le quadrilatère {M}{N}{P}{Q}| Dans un quadrilatère
SI
para (MN) (PQ)| deux côtés opposés parallèles
para (NP) (MQ) | les deux autres côtés opposés parallèles
ALORS
parallelogramme M N P Q | c'est un parallélogramme,
--
P3 parallélogramme
RESUME
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur.
SI
parallelogramme M N P Q | un parallélogramme,
ALORS
egal MN PQ | deux côtés opposés sont de même longueur
egal NP MQ | les deux autres côtés opposés sont de même longueur
--
P3r parallélogramme
RESUME
Un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont de même longueur est un parallélogramme.
CONTEXTE
Dans le quadrilatère non croisé {M}{N}{P}{Q}| Dans un quadrilatère non croisé
SI
egal MN PQ | deux côtés opposés de même longueur
egal NP MQ | les deux autres côtés opposés de même longueur
ALORS
parallelogramme M N P Q | c'est un parallélogramme,
--
D1 droite
RESUME
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
SI
para d1 d2 | deux droites parallèles
perp d3 d1 | une droite perpendiculaire à l'une
ALORS
perp d3 d2 | cette droite est perpendiculaire à l'autre.
--
D2 droite
RESUME
Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre.
SI
perp d1 d2 | deux droites perpendiculaires
perp d3 d1 | une droite perpendiculaire à l'une
ALORS
para d3 d2 | cette droite est parallèle à l'autre.
--
D3 droite
RESUME
Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
SI
para d1 d2 | deux droites parallèles,
para d3 d1 | une droite parallèle à l'une
ALORS
para d3 d2 | cette droite est parallèle à l'autre.
--
D4 droite
RESUME
Deux droites perpendiculaires à une même troisème en un même point sont confondues.
CONTEXTE
Soient {O},{M},{N} et {P} des points distincts
SI
perp (OM) (OP)
perp (ON) (OP)
ALORS
aligne O M N
--
D5 droite
RESUME
Si MN+NP=MP alors M,N et P sont alignés dans cet ordre.
CONTEXTE
SI
egal so(MN;NP) MP
ALORS
aligne_ordre M N P
--
D6 droite
RESUME
Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues.
SI
para (MN) (MP)
ALORS
aligne M N P
--
M1 milieu
RESUME
Le milieu partage le segment en deux parties de même longueur
SI
milieu O M N
ALORS
egal OM ON
--
CA1 calcul_remplacement
RESUME
Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles.
SI
egal X Y
egal Z Y
ALORS
egal X Z
--
SYM1 symétrie_centrale
RESUME
symétrique d'une droite, d'un segment
SI
sym_centrale P M O
sym_centrale Q N O
ALORS
sym_centrale_drt (PQ) (MN) O
sym_centrale_sgm P Q M N O
--
SYM2 symétrie_centrale
RESUME
deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles
SI
sym_centrale_drt d1 d2 O
ALORS
para d1 d2
--
SYM3 symétrie_centrale
RESUME
deux segments symétriques par rapport à un point sont de même longueur
SI
sym_centrale_sgm P Q M N O
ALORS
egal PQ MN
--
SYM4 symétrie_centrale
RESUME
symétrique d'un angle
SI
sym_centrale P X O
sym_centrale Q Y O
ALORS
sym_centrale_agl O P Q O X Y O
sym_centrale_agl O Q P O Y X O
--
SYM5 symétrie_centrale
RESUME
deux angles symétriques par rapport à un point sont de même mesure
SI
sym_centrale_agl P Q R X Y Z O
ALORS
egal an(PQR) an(XYZ)
--
SYM6 symétrie_centrale
RESUME
La symétrie centrale conserve l'alignement
SI
sym_centrale P X O
sym_centrale Q Y O
sym_centrale R Z O
aligne X Y Z
ALORS
aligne P Q R
--
SYM7 symétrie_centrale milieu
RESUME
milieu et symétrie centrale
SI
milieu O M N
ALORS
sym_centrale M N O